Sur Les Extensions Et Les Utilisations En Informatique D'un R Esultat Math Ematique : Les Polyn^ Omes D'ehrhart Exemple 2 Soit S N Le Syst Eme Lin Eaire Suivant

Les polyn^ omes d'Ehrhart constituent un r esultat math ematique important, permettant d'exprimer le nombre de solutions enti eres d'un syst eme d' equations et d'in equations rationnelles et param etriques. L'informatique trouve ici un outil permettant une analyse symbolique exacte des programmes. Nous montrons dans cet article que le math ematicien Eug ene Ehrhart a pos e les bases d'un vaste domaine d'investigations, tant en math ematique, permettant d'int eressantes extensions, qu'en informatique, o u les applications de ses r esultats augmentent encore les possibilit es des ordinateurs. Au d ebut des ann ees soixante, Eug ene Ehrhart, math ematicien strasbourgeois bien connu des lecteurs de ce bulletin, a mis en evidence des r esultats concernant le domaine de la g eom etrie alg ebrique. Plus pr ecis ement, ses r esultats portent sur le nombre de solutions enti eres d'un syst eme d' egalit es et d'in egalit es lin eaires rationnelles, d ependant d'un param etre entier positif 5, 6, 7, 9, 8, 10, 12, 13]. Par exemple, si l'on consid ere le syst eme d'in egalit es suivant : 8 < : 0 x n x + y 2n 0 y 2n o u n est un param etre entier positif. Le nombre de solutions enti eres de ce syst eme est donn e par son polyn^ ome d'Ehrhart qui est 3 2 n 2 + 5 2 n + 1. Ce probl eme etant bien cern e, E. Ehrhart l'a tout de suite pos e en terme de probl eme g eom etrique. En eeet, tout syst eme d' equations lin eaires d eenit un poly edre convexe. Ses r esultats sont notamment d'un grand int er^ et pour la recherche en informatique, et plus par-ticuli erement en informatique parall ele, domaine de recherche d edi e a la conception et a l'utilisation des ordinateurs les plus puissants du monde, appel es commun ement super-calculateurs. Nous mon-trons dans cet article, comment ils sont utilis es a r esoudre de nombreux probl emes li es a l'utilisation de ces machines. Ces ordinateurs sont caract eris es par une architecture mat erielle compos ee de plusieurs pro-cesseurs, contrairement aux micro-ordinateurs que l'on trouve aujourd'hui sur nos bureaux, qui n'en poss edent qu'un seul. Les processeurs sont interconnect es aan de pouvoir se transmettre donn ees et r esultats de calculs, et s'occupent simultan ement a r esoudre …